Simulador para combinatoria

Teoría de Combinatoria

Tabla Resumen de Conceptos

Concepto ¿Importa el orden? ¿Se permiten repeticiones? Fórmula Clave
Permutación (sin repetición)SíNo\(P(n) = n!\)
Permutación con repeticiónSíSí\(P(n; n_1, n_2, \ldots) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots}\)
Variación (sin repetición)SíNo\(V(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)
Variación con RepeticiónSíSí\(VR(n, r) = n^r\)
Combinación (sin repetición)NoNo\(C(n, r) = \binom{n}{r}\)
Combinación con RepeticiónNoSí\(CR(n, r) = \binom{n+r-1}{r}\)

Factorial de un número

El factorial de un número entero no negativo \(n\), denotado por \(n!\), es el producto de todos los números enteros positivos menores o iguales a \(n\).

Definición de factorial
\[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1 \]

Por convención, \(0! = 1\).

Ejemplo: \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)

Número combinatorio

El número combinatorio \(\binom{n}{r}\), también conocido como "n sobre r" o "coeficiente binomial", representa el número de formas de elegir \(r\) elementos de un conjunto de \(n\) elementos sin importar el orden.

Fórmula del número combinatorio
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

Propiedades importantes:

  • \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\)
  • \(\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\)
  • \(\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}\) (relación de recurrencia)

Permutaciones

Arreglos de objetos donde el orden importa.

Permutaciones sin repetición

Número de formas de ordenar \( n \) objetos distintos.

Fórmula de permutación sin repetición
\[ P(n) = n! \]

Permutaciones con repetición

Número de formas de ordenar \( n \) objetos con grupos de elementos idénticos.

Fórmula de permutación con repetición
\[ P(n; n_1, n_2, \ldots) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots} \]

Variaciones

Arreglos de \( r \) objetos tomados de \( n \), donde el orden importa.

Variaciones sin repetición

Número de formas de seleccionar y ordenar \( r \) objetos de \( n \), sin poder repetir.

Fórmula de variación sin repetición
\[ V(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]

Variaciones con repetición

Número de formas de seleccionar y ordenar \( r \) objetos de \( n \), con repetición permitida.

Fórmula de variación con repetición
\[ VR(n, r) = n^r \]

Combinaciones

Selecciones de \( r \) objetos tomados de \( n \), donde el orden NO importa.

Combinaciones sin repetición

Número de formas de seleccionar \( r \) objetos de \( n \), sin poder repetir.

Fórmula de combinación sin repetición
\[ C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

Combinaciones con repetición

Número de formas de seleccionar \( r \) objetos de \( n \), con repetición permitida.

Fórmula de combinación con repetición
\[ CR(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} \]

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Permutaciones sin repetición

Problema: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 libros diferentes en un estante?

Solución: Como los libros son diferentes y el orden importa, usamos permutaciones sin repetición.

\[ P(5) = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

Hay 120 maneras diferentes de ordenar los 5 libros.

Ejemplo 2: Permutaciones con repetición

Problema: ¿Cuántas palabras diferentes (con o sin sentido) se pueden formar con las letras de la palabra "MISSISSIPPI"?

Solución: La palabra "MISSISSIPPI" tiene 11 letras con las siguientes repeticiones:

  • M: 1 vez
  • I: 4 veces
  • S: 4 veces
  • P: 2 veces

Usamos la fórmula de permutaciones con repetición:

\[ P(11; 1, 4, 4, 2) = \frac{11!}{1! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2!} = \frac{39,916,800}{1 \cdot 24 \cdot 24 \cdot 2} = \frac{39,916,800}{1,152} = 34,650 \]

Se pueden formar 34,650 palabras diferentes.

Ejemplo 3: Variaciones sin repetición

Problema: En una carrera de 8 corredores, ¿de cuántas maneras pueden repartirse las medallas de oro, plata y bronce?

Solución: Seleccionamos 3 corredores de 8, y el orden importa (oro, plata, bronce). Usamos variaciones sin repetición.

\[ V(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336 \]

Hay 336 maneras diferentes de repartir las medallas.

Ejemplo 4: Variaciones con repetición

Problema: ¿Cuántas contraseñas de 4 dígitos se pueden formar con los números del 0 al 9?

Solución: Cada dígito puede repetirse y el orden importa. Usamos variaciones con repetición.

\[ VR(10, 4) = 10^4 = 10,000 \]

Se pueden formar 10,000 contraseñas diferentes.

Ejemplo 5: Combinaciones sin repetición

Problema: ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité de 3 personas de un grupo de 10?

Solución: Seleccionamos 3 personas de 10, y el orden no importa. Usamos combinaciones sin repetición.

\[ C(10, 3) = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

Hay 120 maneras diferentes de formar el comité.

Ejemplo 6: Combinaciones con repetición

Problema: En una heladería hay 5 sabores diferentes. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 bolas de helado?

Solución: Se pueden repetir sabores y el orden no importa. Usamos combinaciones con repetición.

\[ CR(5, 3) = \binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]

Hay 35 maneras diferentes de elegir 3 bolas de helado.

Aplicaciones Prácticas

Informática y Criptografía

La seguridad de una contraseña de 8 caracteres alfanuméricos (62 opciones) se basa en las variaciones con repetición: \( 62^8 \), un número de más de 200 trillones.

Probabilidad y Juegos de Azar

La probabilidad de obtener "póker" (5 cartas del mismo palo) en una baraja de 52 se calcula con combinaciones: \( \frac{\binom{4}{1} \times \binom{13}{5}}{\binom{52}{5}} \).

Genética y Biología

El número de posibles secuencias de ADN de longitud n (con 4 bases posibles) se calcula con permutaciones con repetición: \( 4^n \).

Principio de Inclusión-Exclusión

¿Qué es?

Una técnica para contar los elementos en la unión de varios conjuntos, sumando los tamaños individuales, restando las intersecciones, sumando las intersecciones de a tres, etc.

Fórmula para dos conjuntos
\[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \]
Fórmula para tres conjuntos
\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]

Ejemplo: Dos conjuntos

En un grupo, \( |M| = 60 \) estudian matemáticas, \( |F| = 40 \) física y \( |M \cap F| = 20 \) ambas. ¿Cuántos estudian al menos una?

\[ |M \cup F| = |M| + |F| - |M \cap F| = 60 + 40 - 20 = 80 \]

Explicación del diagrama:

  • Solo Matemáticas: \( |M| - |M \cap F| = 60 - 20 = 40 \)
  • Solo Física: \( |F| - |M \cap F| = 40 - 20 = 20 \)
  • Ambas materias: \( |M \cap F| = 20 \)

Visualización con Diagrama de Venn

40
(Solo M)
20
(Solo F)
20
(Ambas)

Ejemplo: Tres conjuntos

En una encuesta a 100 estudiantes: \( |M| = 45 \) estudian matemáticas, \( |F| = 38 \) física, \( |Q| = 42 \) química, \( |M \cap F| = 15 \) estudian matemáticas y física, \( |M \cap Q| = 18 \) matemáticas y química, \( |F \cap Q| = 12 \) física y química, y \( |M \cap F \cap Q| = 8 \) estudian las tres materias. ¿Cuántos estudian al menos una materia?

\[ |M \cup F \cup Q| = |M| + |F| + |Q| - |M \cap F| - |M \cap Q| - |F \cap Q| + |M \cap F \cap Q| \]
\[ |M \cup F \cup Q| = 45 + 38 + 42 - 15 - 18 - 12 + 8 = 88 \]

Desglose por regiones:

  • Solo Matemáticas: \( 45 - (7 + 8 + 10) = 20 \)
  • Solo Física: \( 38 - (7 + 8 + 4) = 19 \)
  • Solo Química: \( 42 - (10 + 8 + 4) = 20 \)
  • Matemáticas y Física (solo): \( 15 - 8 = 7 \)
  • Matemáticas y Química (solo): \( 18 - 8 = 10 \)
  • Física y Química (solo): \( 12 - 8 = 4 \)
  • Todas las materias: \( 8 \)

Visualización con Diagrama de Venn

20
(Solo M)
19
(Solo F)
20
(Solo Q)
7
(M y F)
10
(M y Q)
4
(F y Q)
8
(Todas)

Calculadora de Combinatoria

Parámetros de Cálculo

Repeticiones específicas:

La suma de los valores debe ser igual a n.