Distribución Uniforme Continua
$X \sim U(a, b)$
Función de Densidad de Probabilidad (PDF)
$$
f(x; a, b) =
\begin{cases}
\frac{1}{b-a} & \text{para } a \le x \le b \\
0 & \text{en otro caso}
\end{cases}
$$
La densidad es constante dentro del intervalo $[a, b]$, lo que significa que todos los resultados en ese rango son igualmente probables. El área total bajo esta curva rectangular es 1.
Función de Distribución Acumulada (CDF)
$$
F(x; a, b) =
\begin{cases}
0 & \text{para } x < a \\
\frac{x-a}{b-a} & \text{para } a \le x \le b \\
1 & \text{para } x > b
\end{cases}
$$
La CDF representa la probabilidad $P(X \le x)$ y crece linealmente desde 0 hasta 1 dentro del intervalo de soporte.
Función Generadora de Momentos (MGF)
$M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}$
Intuición Clave: Equiprobabilidad. La distribución uniforme es el modelo matemático de la incertidumbre total dentro de un rango conocido. Si solo sabemos que un evento ocurrirá entre un valor mínimo $a$ y un máximo $b$, pero no tenemos información que favorezca a ninguna parte del rango, la distribución uniforme es la elección natural. Es la base de la generación de números aleatorios en computación.
Momentos de la Distribución
$\text{Media: } E[X] = \frac{a+b}{2}$
$\text{Varianza: } \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
$\text{Asimetría: } \gamma_1 = 0$
$\text{Curtosis (exceso): } \gamma_2 = -1.2$
$\text{Varianza: } \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
$\text{Asimetría: } \gamma_1 = 0$
$\text{Curtosis (exceso): } \gamma_2 = -1.2$
Interpretación de los momentos:
- La media es simplemente el punto medio del intervalo $[a, b]$.
- La varianza depende únicamente de la amplitud del intervalo ($b-a$). A mayor amplitud, mayor incertidumbre y varianza.
- La asimetría es cero, lo que confirma que la distribución es perfectamente simétrica alrededor de su media.
- La curtosis es negativa (platicúrtica), indicando que la distribución es más "plana" y tiene colas más ligeras que una distribución normal.
Aplicaciones Principales
- • Simulación y Monte Carlo: Es el punto de partida para generar números aleatorios de cualquier otra distribución (método de la transformada inversa).
- • Modelado de Incertidumbre: Cuando solo se conocen los límites de una variable (ej. tolerancias de fabricación).
- • Estadística Bayesiana: Se utiliza como un prior no informativo, representando la falta de conocimiento previo sobre un parámetro.
- • Muestreo Aleatorio: Para seleccionar un elemento de una población con igual probabilidad.
- • Modelado de Errores de Redondeo: El error al redondear un número a su entero más cercano se puede modelar como $U(-0.5, 0.5)$.
Distribución Uniforme
Comparación con Otras Distribuciones Clave
| Característica | Uniforme | Normal | Exponencial |
|---|---|---|---|
| Forma | Rectangular (plana) | Campana simétrica | Asimétrica, decreciente |
| Parámetros | Mínimo ($a$), Máximo ($b$) | Media ($\mu$), Desv. Estándar ($\sigma$) | Tasa ($\lambda$) |
| Simetría | Sí | Sí | No (sesgo a la derecha) |
| Soporte | Finito $[a, b]$ | Infinito $(-\infty, \infty)$ | Semi-infinito $[0, \infty)$ |
| Uso Típico | Simulación, priors, incertidumbre acotada | Fenómenos naturales, errores de medida | Tiempos de espera, vida útil |
La distribución uniforme continua es posiblemente la más simple de todas las distribuciones de probabilidad. Describe una situación en la que todos los resultados dentro de un intervalo cerrado $[a, b]$ tienen exactamente la misma probabilidad de ocurrir. Debido a su simplicidad y a su propiedad de equiprobabilidad, es la piedra angular de la simulación por ordenador y los métodos de Monte Carlo, sirviendo como base para generar variables aleatorias de distribuciones mucho más complejas.
VENTAJAS PRINCIPALES
• Simplicidad: Fácil de entender e implementar. Sus fórmulas son muy directas.
• Fundamental para simulación: La mayoría de los generadores de números aleatorios producen variables $U(0, 1)$, que luego se transforman.
• Parámetros intuitivos: Los límites $a$ y $b$ tienen una interpretación física clara.
• Modelo de mínima información: Representa la máxima incertidumbre dentro de un rango fijo.
• Fundamental para simulación: La mayoría de los generadores de números aleatorios producen variables $U(0, 1)$, que luego se transforman.
• Parámetros intuitivos: Los límites $a$ y $b$ tienen una interpretación física clara.
• Modelo de mínima información: Representa la máxima incertidumbre dentro de un rango fijo.
LIMITACIONES
• Poco realista para muchos fenómenos: En la naturaleza, es raro que la probabilidad sea perfectamente constante y luego caiga a cero abruptamente.
• Límites estrictos: Asume que valores fuera de $[a, b]$ son imposibles, lo cual puede no ser siempre cierto.
• Media y varianza sensibles a los extremos: A diferencia de la normal, no tiene una "concentración" central de probabilidad.
• Límites estrictos: Asume que valores fuera de $[a, b]$ son imposibles, lo cual puede no ser siempre cierto.
• Media y varianza sensibles a los extremos: A diferencia de la normal, no tiene una "concentración" central de probabilidad.
Generación de Números Aleatorios
Es la base de casi toda la simulación computacional. Las funciones `rand()` suelen generar números de una distribución $U(0, 1)$.
Ingeniería y Tolerancias
Modela la incertidumbre en las dimensiones de una pieza que debe estar dentro de un rango de tolerancia específico.
Método de Monte Carlo
Se utiliza para muestrear aleatoriamente un espacio de parámetros para estimar integrales complejas o analizar sistemas estocásticos.