Distribución Normal

Análisis interactivo de la distribución normal, la distribución de probabilidad continua más importante en estadística. Explora sus propiedades, fórmulas y aplicaciones con controles dinámicos para una mejor comprensión.

Visualizador Interactivo

$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$
Función de Densidad de Probabilidad (PDF)
$$f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
Función de Distribución Acumulada (CDF)
$$F(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$
Donde $\operatorname{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^z e^{-t^2} dt$ es la función error de Gauss, una función especial no elemental fundamental en estadística y teoría de probabilidades.
Transformación a Normal Estándar
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$$
Momentos Principales
$$\text{Media: } E[X] = \mu$$ $$\text{Varianza: } \text{Var}(X) = \sigma^2$$ $$\text{Asimetría: } \gamma_1 = 0$$ $$\text{Exceso de Curtosis: } \gamma_2 = 0$$
Nota: La curtosis total es 3, pero el exceso de curtosis (respecto a la normal) es 0, indicando colas ni pesadas ni ligeras.
Función Generadora de Momentos
$$M_X(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}$$
Parámetros: μ (media), σ² (varianza) Dominio: $x \in (-\infty, +\infty)$
0
1
Distribución Normal
Puntos de Inflexión (μ±σ)
Área P(a ≤ X ≤ b)
Probabilidad entre a y b:
68.27%
$P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$

Propiedades y Contexto de Aplicación

La distribución Normal, conocida como la "curva de campana" o distribución Gaussiana, es la piedra angular de la estadística moderna. Su omnipresencia se debe al Teorema Central del Límite, uno de los resultados más fundamentales de las matemáticas. Este teorema establece que la suma (o promedio) de un gran número de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tenderá a seguir una distribución normal, independientemente de la distribución original de las variables individuales (siempre que tengan media y varianza finitas). Por ello, fenómenos naturales y sociales que resultan de la combinación de muchos factores pequeños e independientes (como la altura de una población o los errores de medición) siguen esta distribución de forma natural.

Regla Empírica 68-95-99.7

Para cualquier distribución normal, los datos se distribuyen de forma predecible:

μ ± 1σ
~68.27%
μ ± 2σ
~95.45%
μ ± 3σ
~99.73%

💡 Nota Matemática: Los puntos de inflexión de la curva normal (donde cambia de cóncava a convexa) ocurren exactamente en $x = \mu \pm \sigma$. En estos puntos, la segunda derivada $f''(x) = 0$. Las líneas naranjas punteadas en el gráfico marcan estas ubicaciones importantes.

Aplicaciones en el Mundo Real

  • Inferencia Estadística: Base de las pruebas paramétricas (t-test, ANOVA, regresión) y construcción de intervalos de confianza mediante el TCL.
  • Control de Calidad: Gráficos de control (Shewhart, CUSUM) que usan límites basados en ±3σ para detectar desviaciones en procesos industriales.
  • Finanzas Cuantitativas: Modelo de Black-Scholes para opciones, análisis de portafolios (Markowitz), y Value at Risk (VaR), aunque con limitaciones en colas.
  • Ciencias Naturales y Sociales: Errores de medición instrumental, altura/peso poblacional, puntuaciones de CI (escaladas con μ=100, σ=15), velocidades moleculares (Maxwell-Boltzmann).
  • Machine Learning: Inicialización de pesos en redes neuronales, distribución a priori en métodos bayesianos, y análisis de componentes principales (PCA).
Ejemplo: Altura
La altura de los adultos en una población sigue una distribución normal. Si μ=170cm y σ=10cm, aproximadamente el 68% de las personas medirán entre 160cm y 180cm (μ±1σ).
Ejemplo: Calificaciones
Las notas de un examen suelen seguir una distribución normal. Si la media es μ=75 y σ=10, aproximadamente el 95% de los estudiantes obtuvieron entre 55 y 95 puntos (μ±2σ).
FORTALEZAS CLAVE
• Fundamento Teórico Sólido: Base de la inferencia estadística paramétrica, permitiendo pruebas de hipótesis y construcción de intervalos de confianza robustos.
• Propiedades Matemáticas Elegantes: Estabilidad bajo transformaciones lineales, suma de normales es normal, y forma analítica cerrada.
• Aplicabilidad Universal (TCL): Modela con precisión una vasta gama de fenómenos naturales y sociales resultantes de múltiples efectos aditivos.
• Interpretación Intuitiva: Los parámetros μ (localización) y σ² (escala) tienen significados directos y son fáciles de estimar e interpretar.
LIMITACIONES A CONSIDERAR
• Simetría Obligatoria: No puede modelar distribuciones asimétricas (sesgadas). Para datos con asimetría, considerar distribuciones log-normal, gamma o Weibull.
• Colas Ligeras: Decaimiento exponencial rápido en las colas, subestimando la probabilidad de eventos extremos. En finanzas, esto puede llevar a subestimar el riesgo.
• Dominio No Acotado: Asume soporte en $(-\infty, +\infty)$, inadecuado para variables con límites naturales (ej: tiempo, precios, proporciones).
• Sensibilidad a Outliers: Tanto μ como σ² son estimadores sensibles a valores atípicos que pueden distorsionar significativamente el modelo.